VESTIBULAR 2010 DA UFPA 2ª FASE QUESTÃO 10

Legenda para entendido:
pi = 3,14
3*4 = 3 x 4 = 12

6ª) ( UFPA 2010 ) Uma partícula inicia um movimento oscilatório harmônico ao longo de um eixo ordenado, de amplitude igual a 5 unidades e centrado na origem, de modo que a sua posição pode ser descrita, em função do tempo em segundos, pela função.

f(t) = 5cos(t)

   Ao mesmo tempo, uma outra partícula inicia um movimento também harmônico, centrado em 3, de amplitude igual a 1 e com o dobro da frequência daprimeira partícula, de modo que sua posição é descrita pela função.

g(t) = cos(2t) + 3

    Acerca da posição relativa das duas partículas, é CORRETO afirmar que:

A) Elas se chocarão no instante t = (pi/3) segundos.

B) Elas se chocarão no instante t = (pi/4) segundos.

C) Elas se chocarão no instante t = (pi/6) segundos.

D) Elas se chocarão no instante t = 3 segundos.

E) Elas não se chocarão.

RESPOSTA

  As alternativas desta questão deixam bem claro que devemos procurar um ponto de intercessão entre essas funções. Para entendermos como encontrar esse ponto cito o seguinte exemplo. 

  

   As seguintes funções representam quanto um usuário de internet deve pagar por hora de utilização do computador na lan house A e B. Sendo a função A ( y = x + 2 ) e a função B ( y = 0,5x + 4 ) responda:
A) quanto pagará o usuário ao utilizar o computador por 4 horas na lan house B?

  Substituindo 4 na função A...
  y(x) = 0.5x + 4                     y(4) = 2 + 4
  y(4) = 0.5*4 + 4                   y(4) = 6

B) Quanto pagará o usuário ao utilizar o computador por 4 horas na lan house A?

  Substituindo 4 na função B...
  y(x) = x + 2                          y(4) = 6
  y(4) = 4 + 2

   Perceba que para o mesmo valor do domínio (4) a funções apresentam as mesmas imagens (6), isso quer dizer que essas funções se tocam no ponto (4 , 6).
   
  Para visualizar melhor verifique o gráfico das duas funções.

  Se quiséssemos descobrir em que ponto elas se cruzam apenas igualaríamos as duas funções pois onde elas se tocarem a imagem (y) será a mesma para as duas funções. Logo...
  yA = yB                              x - 0,5x = 4 - 2            x =( 2/0,5)
  x + 2 = 0,5x + 4                  0,5x = 2                      x = 4

   Ou seja para yA = yB o valor de x deve ser 4.
  Como queremos encontrar um ponto ou seja x e y, para encontrar o y é só substituir o valor quatro em qualquer uma das funções que encontraremos o valor 6. 

   Voltando a nossa questão para encontrarmos onde as partículas se chocarão igualaremos as duas funções, fazendo isso teremos...

5cos(t) = cos(2t) + 3

     Veja que cos(2t) é um arco duplo, isso nos chamamos de operações com arcos. Veja e memorize-as!

sen(a+b) = sen(a)*cos(b) + sen(b)*cos(a)

sen(a-b) = sen(a)*cos(b)  -  sen(b)*cos(a)

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sen(a)*sen(b)

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sen(a)*sen(b)

tag(a+b) = tag(a)+tag(b)/(1-tag(a)*tag(b))

tag(a-b) = tag(a) - tag(b)/(1+tag(a)*tag(b))

   Como temos o arco duplo do cosseno...

cos(t+t) = cos(t)*cos(t) - sen(t)*sen(t)

cos(2t) = cos²(t) - sen²(t)  

   Agora iremos substituir na nossa igualdade o arco duplo do cosseno que acabamos de encontrar, fazendo isso...

   

5cos(t) = cos(2t) + 3

5cos(t) = cos²(t) - sen²(t) + 3

 Vamos lembrar agora da fórmula fundamental da trigonometria que é...

sen²(t) + cos²(t) = 1

sen²(t) = 1 - cos²(t)

  Substituindo sen²(t) na nossa igualdade teremos...

5cos(t) = cos²(t) - sen²(t) + 3

5cos(t) = cos²(t) - (1 - cos²(t) ) + 3

5cos(t) = cos²(t) - 1 + cos²(t) + 3

2cos²(t) - 5cos(t) + 2 = 0

    Devemos logo perceber que se trata de uma equação do segundo grau, fazendo cos(t) = x teremos

2x² - 5x + 2

resolvendo está equação encontraremos...

x' = 0,5

x" = 2

   Se cos(t) = x substituindo os valores de x encontrados teremos...

     

cos(t)  = 2 e cos(t) = 0,5

    Como sabemos que não existe um ângulo cujo cosseno seja maior que 1. Temos que cos(t) = 0,5.

     O ângulo para o qual cos(t) = 1/2 nós sabemos que é 60°, transformando de graus para radianos...

180º ----------------pi radianos

60º ---------------x radianos

x = 60 pi/180

x = pi / 3

RESPOSTA LETRA A