VESTIBULAR 2011 DA UFPA QUESTÃO 07

5ª) ( UFPA 2011 ) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone,com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar,utilizando pi=3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente.

A) 18             B) 20             C) 22           D) 24         E) 26

RESPOSTA

    Algumas pessoas apesar de morarem no Pará desconhecem o que chamamos de paneiro, por isso resolvi mostrar aqui nesta resolução uma foto com intuito também de ajudar no entendimento do problema.

    Na nossa questão ele foi idealizado como um tronco de cone com...

    Em geometria espacial é comum por questão de didática dividirmos ela em...

   SÓLIDOS SEM PONTA

   A figura acima nos mostra alguns exemplos de figuras sem ponta cujo volume é calculado...

Volume = Área da base X Altura

SÓLIDOS COM PONTA

   Na imagem acima temos alguns exemplos de figuras com pontas cujo volume é calculado...

Volume = ( Área da base X Altura / 3)

   Em nossa questão temos um tronco de cone e não um cone, existem livros que fornecem uma fórmula para o calculo do volume de qualquer tronco de cone, mas em nossa resolução usaremos um método para não decorarmos  

tal fórmula.

     Analise a imagem abaixo...

     Nesta imagem temos um cone maior que chamei de A e um cone menor B que foi originado da secção ( corte ) de A temos também um tronco de cone D. Observe ainda na imagem que se fizermos...

Volume de D + Volume de B = Volume de A

Volume de D = Volume de A - Volume de B

    Ou seja para resolvermos nossa questão iremos imaginar o tronco de cone como um cone, mas como saberemos sua altura? Faremo agora está demonstração.

    Abaixo temos a versão planificada do nosso paneiro.

    Perceba que para que tenhamos um cone será necessário termos um acréscimo na altura esse acréscimo x será calculado através de semelhança entre triângulos.

x/14 = (x + 27)/17

17x = 14.(x + 27)

17x = 14x + 378

17x - 14x = 378

3x = 378

x = 378/3

x = 126 cm

   Agora que encontramos o valor de x temos...

    Encontrado os dois cones iremos calcular o volume de cada um e subtrair o volume do maior menos o volume do menor.

VOLUME DO CONE MAIOR (Vma)

Vma = área da base x altura /3

Vma = pi. R² x 153 /3

Vma = 3,14 x 289 x 153/3

Vma = 46303,93 cm³

VOLUME DO CONE MENOR (Vme)

Vme = pi.R² x altura/3

Vme = 3,14 x 196 x 126/3

Vme = 25861,59 cm³

VOLUME DO TRONCO DE CONE (Vc)

Vc = Vma - Vme

Vc = 46303,93 - 25861,59

Vc =  20442,34 cm³

    Mas, a unidade está em cm³ devemos transformar para litros.

1cm³ = 1ml

20442,34 cm³ = 20442,34 ml

    Sabemos também que...

1L -----------------1000ml

     x---------------20442,34ml

x = 20442,34 / 1000

x = 20,44 L

RESPOSTA LETRA B