VESTIBULAR 2012 DA UFPA QUESTÃO 10

1ª) (UFPA 2012) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possui uma vareta de miriti com 80 cm de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento x, que será a largura da pipa, e outra de comprimento y, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura abaixo, de modo que a altura da região retangular seja (1/4).YY . Enquanto a altura da triangular seja (3/4).Y. Para garantir maiorcapitação de vento, ele necessita que a área da superfície da pipa seja a maior possível.

A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a:

A) 350 cm² B) 400 cm² C) 450 cm² D) 500 cm² E) 550 cm²

RESOLUÇÃO
Sabemos que ele dividiu a vareta em três pedaços (x, x, y). Logo...
                                    2X + Y = 80
                              Isolando-se y temos.
                                     y = -2X + 80

Calcularemos agora a área das duas figuras (Retângulo/Triângulo).
                        Área do Retângulo (A.r)
                           A.r = base.altura
                           A.r = x.y/4

                        Área do triângulo (A.t)
                           A.t = base.altura/2
                           A.t = 3x.y/8
Substituindo o valor de y nas duas equações teremos...
                             A.r = - x²/2 + 20x
                             A.t = -3x²/4 + 30x
Como temos duas funções onde a Área está em função de X podemos encontrar a Área máxima de cada figura usando Yv( y do vértice). Logo...
                           #Yv da área do retângulo
                              Yv = - Delta/4.a
                              Yv = - 400/-2 = 200
                           #Yv da área do triângulo
                             Yv = - 900/-3 = 300
Somando-se as duas áreas máximas teremos... 
                             (200+300 = 500)
                       RESPOSTA LETRA D